Профессор Б.И.Квасов

Научные интересы


Основные научные интересы:

Текущие научные интересы:


Проведенные исследования:

Мои научные интересы в основном связаны с теорией сплайнов и ее приложениями к автоматизированному геометрическому проектированию. Построение кривых и поверхностей играет важную роль не только при конструировании различных сложных изделий таких как кабина автомобиля, корпус судна, фюзеляж и пропеллеры самолета и др., но также при описании геологических, физических и даже медицинских явлений. Новые области приложений автоматизированного геометрического проектирования включают компьютерное зрение и контроль промышленного производства, медицинские исследования (программное обеспечение цифрового диагностического оборудования), распознавание образов, телевизионные системы высокой разрешающей способности, картографию, индустрию фильмов и т.д.

Точные решения разностных схем. В начале моей научной карьеры я работал в группе академика Н.Н.Яненко и занимался численным решением многомерных задач математической физики. Это было время, когда весьма популярен был метод дробных шагов, известный также как метод расщепления. Этот метод использовался при решении многих важных научных задач. Мною рассматривались конечно-разностные схемы повышенной точности для уравнения Лапласа и бигармонического уравнения. Используя идею дробных шагов, я предложил эффективные итерационные алгоритмы для численного решения соответствующих разностных схем. В случае разностного аналога задачи Дирихле для уравнения Лапласа и бигармонического уравнения в двумерной области на равномерной сетке с N узлами в обоих направлениях удается получить точное разностное решение за N итераций. Это гораздо более эффективный алгоритм, чем традиционная техника метода верхней релаксации. Позднее эти результаты были обобщены рядом авторов на уравнения теории упругости и пластичности а также на многосвязные области.

Оптимальные оценки погрешности сплайн-аппроксимации. В 1980 г. в соавторстве с проф. Ю.С.Завьяловым и к.ф.-м.н. В.Л.Мирошниченко (Институт математики им. С.Л.Соболева СО АН СССР) мною была написана монография "Методы сплайн-функций", М.: Наука, 352 с. Данная книга содержит исчерпывающий обзор различных эффективных алгоритмов построения одномерных и двумерных сплайнов. Наши собственные результаты относятся прежде всего к новой технике получения оптимальных оценок приближения при интерполяции полиномиальными сплайнами. Метод основывается на интегральном представлении ошибки аппроксимации. Во многих случаях это дает точные поточечные оценки и минимальные значения постоянных в оценках ошибки сплайн-интерполяции. Тот же подход используется для нахождения неулучшаемых оценок ошибки для методов локальной сплайн-аппроксимации. Данная книга, изданная тиражом в 11000 экземпляров, стала стандартным учебником для студентов, исследователей и инженеров в России.

Изогеометрическая сплайн-интерполяция. Стандартные методы сплайн-функций не сохраняют свойства формы исходных данных. Вводя в структуру сплайна параметры контроля формы, можно сохранять различные характеристики исходных данных такие, как положительность, монотонность, выпуклость, наличие линейных и плоских участков. Основанные на интерполяционных сплайнах, такие методы с контролем формы принято называть методами изогеометрической сплайн-интерполяции. Ключевым моментом здесь является разработка алгоритмов с автоматическим выбором параметров формы. Большинство таких алгоритмов решает задачу только для некоторых конкретных видов данных. Чтобы решить задачу в общем случае, мною была проведена классификация исходных данных и проблема изогеометрической интерполяции была сведена к решению задачи эрмитовой интерполяции с ограничениями в виде системы неравенств. Решение было получено в виде локального обобщенного сплайна класса С2. Этот подход позволяет развить алгоритм изогеометрической локальной сплайн-интерполяции с автоматическим выбором параметров контроля формы, исходя из условий монотонности и выпуклости исходных данных. Применение этого алгоритма позволяет дать полное решение задачи изогеометрической интерполяции для произвольных данных и выделить участки линейности, углы и т.д.

GB-сплайны с натяжением. Одним из моих наиболее важных результатов в теории сплайнов является разработка "прямых методов" получения явных формул для обобщенных базисных сплайнов с натяжением (сокращенно GB-сплайнов) и рекурсивных алгоритмов их вычисления. Этот подход позволяет строить локальные базисы для различных сплайнов с параметрами контроля формы, включая экспоненциальные, с дополнительными узлами, гиперболические, рациональные, переменного порядка и т.д.. Эти результаты были обобщены на GB-сплайны произвольного порядка. Мною исследованы основные свойства GB-сплайнов и рядов из них, включая изогеометрические свойства, инвариантность относительно аффинных преобразований и др. Было показано, что ряды из GB-сплайнов обладают свойством уменьшения вариации а системы GB-сплайнов являются слабыми чебышевскими системами.

Локальная изогеометрическая сплайн-аппроксимация. Метод локальной сплайн-аппроксимации, предложенный Лике и Шумейкером [J. Approx. Theory, 1975. V. 15], в сочетании с рекурсивными алгоритмами вычисления полиномиальных сплайнов, доказал свою эффективность на практике. Однако этот метод дает кривую, которая только аппроксимирует данные, существенно меняя их форму. Для данных с интервалами ошибок мною были разработаны алгоритмы локальной изогеометрической сплайн-аппроксимации, основанные на GB-сплайнах с автоматическим выбором параметров контроля формы. Последние выбираются таким образом, чтобы кривая не выходила из заданного коридора и одновременно наследовала свойства монотонности и выпуклости исходных данных. Такие методы весьма успешно используются при изогеометрической аппроксимации многозначных поверхностей, когда исходные данные предполагаются определенными в виде некоторого семейства поточечно заданных непересекающихся криволинейных сечений трехмерного тела. Кроме того, разработанные мною алгоритмы изогеометрической параметризации могут быть использованы для улучшения качества получаемых изогеометрических сплайновых кривых и поверхностей. Подробное описание этой методики содержится в моей монография "Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами", М.: Физматлит. 2006. 360с.

Планируемые исследования:

Мои текущие научные интересы включают изогеометрическую сплайн-аппроксимацию, конечно-разностные методы построения сплайнов, реконструкцию поверхностей по плазовым сечениям и научную визуализацию.

Изогеометрическая аппроксимация кривых и поверхностей. Важное требование для любого программного обеспечения по автоматизированному геометрическому проектированию состоит в аппроксимации данных таким образом, чтобы кривые и поверхности имели ту же "форму", что и исходные данные. Необходимость использования таких методов представлется естественной дл широкого круга приложений при промышленном проектировании и визуализации данных на экране компьютера. Известные алгоритмы изогеометрической аппроксимации с автоматическим выбором параметров контроля формы являются, в основном, комонотонными, т.е. сплайн на i-ом интервале данных возрастает или убывает вместе с данными на этом интервале. Такие сплайны имеют тот недостаток, что они обязаны иметь нулевой наклон в точке, где соседние секущие прямые имеют перемену знака наклона. Следовательно, всякий локальный экстремум рассматриваемой аппроксимации предполагается существенным и подлежащим сохранению для исходных данных. Разработка алгоритмов изогеометрической аппроксимации с автоматическим выбором параметров контроля формы, свободных от этого недостатка и обобщающих комонотонную аппроксимацию, является одной из моих текущих задач.

Разностные методы построения сплайнов. Теория сплайнов в основном базируется на двух подходах: алгебраическом (где сплайны понимаются как гладкие кусочные функции) и вариационном (где сплайны получаются путем минимизации квадратических функционалов с ограничениями типа равенства и/или неравенства). Менее известен еще один третий подход, когда сплайны определяются как решения дифференциальных многоточечных краевых задач (сокращенно ДМКЗ). Этот подход тесно связан с идеей полисплайнов. Хотя многие важные классы сплайнов могут быть получены исходя из любого из этих трех подходов, специфические особенности порой делают последний подход важным инструментом при решении практических задач. Мною разрабатываются разностные методы построения изогеометрических сплайнов. В одномерном случае базисные ДМКЗ дают гиперболические сплайны. В двумерном случае рассматриваются обобщенные бигармонические сплайны. Этот подход позволяет исключить вычисление гиперболических и других специальных функций и допускает непосредственное обобщение на сглаживающие сплайны и аппроксимацию разбросанных данных. Рассматриваются алгоритмы распараллеливания вычислений для высокопроизводительных ЭВМ.

Реконструкция поверхностей по плазовым сечениям. Данная задача часто встречается в автомобиле-, авиа-, судостроении и компьютерной томографии. Целью является восстановление полной поверхности по последовательности плазовых сечений трехмерного тела. В томографии имеем задачу сопряжения соответствующих точек на соседних контурах и при возникновении разветвлений в объекте, т.е. когда единый контур на одном уровне переходит в два или более контуров на следующем уровне. Исследование состоит в разработке алгоритмов автоматической реконструкции поверхности с локальным контролем ее формы.

Научная визуализация. Визуализация включает использование средств компьютерной графики для исследования данных, получаемых путем измерений или применением соответствующих моделей. Визуализация сложных данных - прекрасный способ лучше понять изучаемую систему и обсудить ее свойства. Эта весьма интересная область исследований требует обширных знаний: графических средств, самой рассматриваемой системы, интерфейса и собственно алгоритмов визуализации. Научная визуализация имеет широко распространенные приложения и встречается всякий раз, когда приходится рассматривать сложную систему. Описанные в упомянутой выше моей книге алгоритмы изогеометрической сплайн-аппроксимации кривых и поверхностей реализованы в виде пакета программ, который позволяет строить и отображать на экране монитора сложные многозначные поверхности. Планируется доработать этот пакет для целей научной визуализации с тем, чтобы в дальнейшем включить его в стандартное программное обеспечение системы Matlab (Scilab и др.).


Последнее обновление 12 февраля 2008 г.